Cho số thực \(x,\ y\) không âm thỏa mãn \(\left( x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức bài cho sau đó đặt ẩn phụ và tính gái trị biểu thức.

Giải chi tiết:

Theo giả thiết: \(\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)=2\Leftrightarrow xy+x+y+1=2\Leftrightarrow xy+\left( x+y \right)=1.\)

Ta có: \(P=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{y}^{2}}+1 \right)}+2}+xy\)

              \(\begin{align}  & =\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy-\sqrt{2\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}+2}+xy \\  & =\sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy+2-\sqrt{2\left[ {{\left( xy \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy+1 \right]}}+xy. \\ \end{align}\)

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & x+y=a\ \ \left( a\ge 0 \right) \\  & xy=b\ \ \ \left( b\ge 0 \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=1\Leftrightarrow b=1-a.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow P=\sqrt{{{a}^{2}}-2b+2-\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2b+1 \right)}}+b \\  & =\sqrt{{{a}^{2}}-2\left( 1-a \right)+2-\sqrt{2\left[ {{a}^{2}}+{{\left( 1-a \right)}^{2}}-2\left( 1-a \right)+1 \right]}}+1-a \\  & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-\sqrt{2\left( 2{{a}^{2}} \right)}}+1-a \\  & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-\left| 2a \right|}+1-a \\  & =\sqrt{{{a}^{2}}+2a-2a}+1-a\ \ \ \left( do\ \ \ a>0 \right) \\  & =\sqrt{{{a}^{2}}}+1-a \\  & =a+1-a=1\ \ \ \left( do\ \ a>0 \right). \\ \end{align}\)

Vậy \(P=1.\)

Chọn A