Cho hình chóp \(S.ABC{\rm{D}}\), đáy\(ABCD\) là hì...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot c\\b \cap c \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( P \right)\)

b) Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng thuộc 2 mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.

c) Xác định thiết diện, chứng minh thiết diện có 2 đường chéo vuông góc. Sử dụng công thức tính diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc \(S = \dfrac{1}{2}ab\) trong đó \(a,\,\,b\) là độ dài hai đường chéo.

Giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Mà \(AE \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\,\,\left( {gt} \right)\\AE \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right)\).

Hoàn toàn tương tự ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\\CD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

Mà \(AF \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AF\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot SD\,\,\left( {gt} \right)\\AF \bot CD\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {SCD} \right)\).

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).

Xét tam giác vuông \(SAB\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right)\) ta có: \(\tan \angle SBA = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \).

Vậy \(\angle SBA = \arctan \sqrt 2 \).

c) Gọi \(O = AC \cap BD,\,\,I = SO \cap EF\). Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(K = AI \cap SC\).

Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) là tứ giác \(AEKF\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SAB = \Delta SAD\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle ASB = \angle ASD\) và \(SB = SD\) .

\( \Rightarrow \Delta SAE = \Delta SAF\,\,\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow SE = SF\).

\( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SD}} \Rightarrow EF//BD\). Mà \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

\( \Rightarrow EF \bot \left( {SAC} \right) \supset AK \Rightarrow EF \bot AK\). Do đó tứ giác \(AEKF\) có hai đường chéo vuông góc.

Xét tam giác vuông \(SAB\) có: \(\dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + {a^2}}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SD}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{EF}}{{BD}} \Rightarrow EF = \dfrac{2}{3}BD = \dfrac{2}{3}a\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SAC\) có \(I\) là trọng tâm tam giác \(SAC \Rightarrow K\) là trung điểm của \(SC\).

Tam giác \(SAC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AC\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\SA = AC = a\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A.

\( \Rightarrow AK = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\).

Vậy \({S_{AEKF}} = \dfrac{1}{2}EF.AK = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}a\sqrt 2 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).