Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Điểm M di độn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Kẻ MN là phân giác góc BMC.
\( \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}\)
Xét tứ giác BNMP có : \(\widehat {NBP} + \widehat {NMP} = {60^0} + {120^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác BNMP là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
\( \Rightarrow \widehat {BPN} = \widehat {BMN} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
\( \Rightarrow \Delta BPN\) đều.
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta CNQ\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//AQ\\NQ//AP\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác NPAQ là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow AQ = PN = BP\)
\( \Rightarrow AQ + AP = BP + AP = AB = 1 = const\)
Đặt \(PB = AQ = x \Rightarrow AP = CQ = 1 - x\)
Hai tam giác CMQ và CAP đồng dạng nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{CMQ}}}}{{{S_{CAP}}}} = \dfrac{{CM.CQ}}{{CA.CP}} = \dfrac{{CM}}{{CP}}.\dfrac{{1 - x}}{1}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{CAP}}}}{{CP}} = \dfrac{{{S_{CMQ}}}}{{\left( {1 - x} \right)CM}} = \dfrac{{{S_{CAP}} - {S_{CMQ}}}}{{CP - \left( {1 - x} \right)CM}} = \dfrac{{{S_{APMQ}}}}{{CP - \left( {1 - x} \right)CM}}\\\dfrac{{{S_{CAP}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AP.AC}}{{AB.AC}} = \dfrac{{1 - x}}{1}\\ \Rightarrow {S_{CAP}} = \left( {1 - x} \right){S_{ABC}}\\ \Rightarrow {S_{AMPQ}} = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left[ {CP - \left( {1 - x} \right)CM} \right].{S_{ABC}}}}{{CP}}\\ = \left( {1 - x} \right)\left[ {1 - \dfrac{{CM}}{{CP}}\left( {1 - x} \right)} \right]\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Gọi K là giao điểm NQ và PC.
Áp dụng định lý Tales ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{PM}}{{MK}} = \dfrac{{BP}}{{KQ}}\\\dfrac{{KQ}}{{AP}} = \dfrac{{CQ}}{{CA}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{KQ}}{{1 - x}} = \dfrac{{1 - x}}{1} \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{MK}} = \dfrac{x}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{PM + MK}} = \dfrac{x}{{x + {{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{{PM}}{{PK}}\\\dfrac{{PK}}{{CK}} = \dfrac{{AQ}}{{CQ}} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Rightarrow \dfrac{{PK}}{{CP - PK}} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Rightarrow PK = xCP \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{CP}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{CP - CM}}{{CP}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{CM}}{{CP}} = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}}\\{S_{APMQ}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{x - {x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} - 1} \right) \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\dfrac{4}{3} - 1} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\end{array}\)
Vậy GTLN của diện tích tứ giác APMQ là \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\) xảy ra khi P là trung điểm của AB hay M là tâm của tam giác đều ABC.