Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Giải chi tiết:

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right)\le 2.\)

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có:

\(\begin{align}  & \left( \sqrt{\frac{ab}{a+b}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c}} \right)\left( \frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} \right)\le \sqrt{2\left( \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c} \right)}.\sqrt{2\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} \right)} \\  & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\sqrt{\left( \frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c} \right)\left( \frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c} \right)} \\  & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le \left( \frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c} \right)+\left( \frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c} \right) \\  & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} \right)+\left( \frac{c}{b+c}+\frac{b}{b+c} \right)=2. \\ \end{align}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)