Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng sau đó suy ra tỉ lệ cần chứng minh.

Giải chi tiết:

Cho đường tròn tâm O và điểm P nằm ngoài (O). Vẽ tiếp tuyến PC của (O) (C là tiếp điểm) và cát tuyến PAB (PA < PB) sao cho các điểm A, B, C nằm cùng phía so với đường thẳng PO. Gọi M là trung điểm của đoạn AB và CD là đường kính của (O).

a) Chứng minh tứ giác PCMO là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(M\) là trung điểm của \(AB\;\left( {gt} \right) \Rightarrow OM \bot AB\) (tính chất đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \widehat {AMO} = \widehat {PMO} = {90^0}.\)

Có \(PC\) là tiếp tuyến của (O) tại C \( \Rightarrow \widehat {PCO} = {90^0}.\)

Xét tứ giác \(PCMO\) ta có: \(\widehat {PMO} = \widehat {PCO} = {90^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)

Mà C và M là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh PC dưới 1 góc vuông\( \Rightarrow PCMO\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp).

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng PO với đường thẳng BD. Chứng minh AM.DE = AC.DO.

Vì tứ giác \(PCMO\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {POC} = \widehat {PMC}\) (cùng chắn cung \(PC\))

Mà \(\widehat {DOE} = \widehat {POC}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {DOE} = \widehat {AMC}\;\;\left( { = \widehat {POC}} \right).\)

Xét tam giác: \(\Delta ACM\) và \(\Delta DEO\) ta có:

\(\widehat {DOE} = \widehat {AMC}\;\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {ODE} = \widehat {CAM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\) của đường tròn (O))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACM \sim \Delta DEO\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{DE}} = \frac{{AM}}{{DO}} \Rightarrow AC.DO = AM.DE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Chứng minh đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng CA.

Ta có: \(\Delta ACM \sim \Delta DEO\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{AM}} = \frac{{2OD}}{{2AM}} = \frac{{CD}}{{AB}}.\)

Xét \(\Delta DEC\) và \(\Delta ACB\) ta có:

\(\frac{{DE}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{AB}}\;\;\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {EDC} = \widehat {BAC}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BC\))

\( \Rightarrow \Delta DEC \sim \Delta ACB\;\left( {c - g - c} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {DCE} = \widehat {CBA}\) (hai góc tương ứng).

Lại có: \(\widehat {CBA} = \widehat {PCA}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(CA\))

\( \Rightarrow \widehat {DCE} = \widehat {PCA}\;\;\left( { = \widehat {CBA}} \right).\)

Mặt khác: \(\widehat {PCA} + \widehat {ACO} = {90^0}\;\;\left( {gt} \right)\) (PC là tiếp tuyến của đường tròn tại C)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {DCE} + \widehat {ACO} = {90^0}\;\;hay\;\;\widehat {ACE} = {90^0}.\\ \Rightarrow AC \bot CE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)