Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn \(\l...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh AEHF là tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\)

b) Áp dụng công thức tính diện tích hình quạt \(S = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}}\)

c) Chứng minh \(\angle HFE = \angle HFD\) thông qua các tứ giác nội tiếp và tam giác vuông.

d) Chứng minh EI, FI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E và F từ đó suy ra đpcm

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn. 

Ta có \(\angle BFC = \angle BEC = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \angle AFH = \angle AEH = {90^o}\)

Tứ giác AEHF có: \(\angle AFH + \angle AEH = {180^o}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện của tứ giác \(AEHF\)

\( \Rightarrow \) AEHF là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Tính số đo cung EHF , diện tích hình quạt IEHF của đường tròn \(\left( I \right)\) nếu \(\angle BAC = {60^o},\,\,AH = 4cm\).

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF mà \(\angle AFH = \angle AEH = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) I là trung điểm của AH \( \Rightarrow AI = \frac{{AH}}{2} = 2cm\)

Xét \(\left( I \right)\) có: \(\angle BAC = {60^o}\)

\( \Rightarrow \) sđ cung \(EHF\)\( = 2.\angle BAC = {120^o}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

Diện tích hình quạt IEHF của đường tròn \(\left( I \right)\) là:

\(S = \frac{{\pi .{r^2}.{n^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{{\pi {{.2}^2}{{.120}^o}}}{{{{360}^o}}} = \frac{4}{3}\pi \,\,(c{m^2})\)

c) Gọi AH cắt BC tại D .Chứng minh FH là tia phân giác của\(\angle DFE\).

Ta có: \(\angle BFC,\;\;\angle BEC\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right).\)

\( \Rightarrow \angle BEC = \angle BFC = {90^0}\;\;hay\;\;BE \bot AC,\;\;CF \bot AB.\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(BE \bot AC\,\,;\,\,CF \bot AB\;\;\left( {cmt} \right)\) mà \(CF \cap BE = \left\{ H \right\}\)

\( \Rightarrow \) H là trực tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AH \bot BC = \left\{ D \right\}.\)

Xét tứ giác BFHD có: \(\angle HFB + \angle HDB = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)mà 2 góc ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn (dhnb).

\( \Rightarrow \angle HBD = \angle HFD\)  (các góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Tứ giác AEHF nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle HFE = \angle HAE\) (các góc nội tiếp cùng chắn cung HE).

Mà \(\angle HBD = \angle HAE\)  (cùng phụ với \(\angle ACB\)) \( \Rightarrow \angle HFE = \angle HFD\)

\( \Rightarrow \) FH là tia phân giác của \(\angle DFE\). (đpcm)

d) Chứng minh rằng hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E , F và AH đồng quy tại một điểm.

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại E có : I  là trung điểm của AH \( \Rightarrow IE = IH\)

\( \Rightarrow \Delta IEH\) cân tại I \( \Rightarrow \angle IEH = \angle IHE\) (hai góc kề đáy)

Mà \(\angle BHD = \angle IHE\) (đối đỉnh)

\(\angle BHD = \angle ECO\) (cùng phụ với \(\angle EBC\))

\(\angle ECO = \angle OEC\) (\(\Delta OEC\) cân tại O)

\( \Rightarrow \angle IEH = \angle OEC\)

Mặt khác: \(\angle OEC + \angle OEH = {90^o} \Rightarrow \angle IEH + \angle OEH = {90^o} \Rightarrow \angle OEI = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) EI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E 

Chứng minh tương tự có : FI là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại F mà I là trung điểm của AH 

\( \Rightarrow \) Hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại E , F và AH đồng quy tại I  (đpcm).