Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đườn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m =  - 1\) vào phươn trình hoành độ giao điểm, giải phương trình đó để tìm hoành độ 2 giao điểm, từ đó suy ra tọa độ của chúng.

b) \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

Biến đổi biểu thức đề bài sao cho chỉ còn \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để biến \(T\) theo \(m,\) từ đó tìm \(m\) để \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

a) Khi \(m = 1\), xác định tọa độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là :

\(\left( {2m + 1} \right)x - 2m = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)   

Với \(m = 1\), (1) trở thành \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

\(\Delta  = {3^2} - 4.2 = 1 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 1\)

Với \(m = 1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt : \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2 \Rightarrow y = 4\\{x_2} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1 \Rightarrow y = 1\end{array} \right..\) 

Vậy với\(m =  - 1\) giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là hai điểm có tọa độ \(\left( {2;4} \right)\) và \(\left( {1;1} \right).\)

b) Tìm m để \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là :

\(\left( {2m + 1} \right)x - 2m = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A và B \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4.2m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{1}{2}.\end{array}\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hoành độ của hai điểm \(A\) và \(B\)

\( \Rightarrow {x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của  (1)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Khi đó  \(T = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - {x_1}.{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}.{x_2}\)

               \(\begin{array}{l} = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3.2m = 4{m^2} + 4m + 1 - 6m = 4{m^2} - 2m + 1\\ = \left( {4{m^2} - 2m + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4} = {\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.\end{array}\)

Ta có  \({\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi m \( \Rightarrow T = {\left( {2m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\) với mọi \(m\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2m = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\;\;\left( {tm} \right)\)

 Vậy với \(m = \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn D.