Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\) , đường cao \(M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go, công thức diện tích tam giác, dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật, tính chất trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy

Giải chi tiết:

a. Xét \({\Delta _v}MNP\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

\(M{P^2} + N{M^2} = N{P^2} \Rightarrow M{P^2} = N{P^2} - N{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16 \Rightarrow MP = 4\,cm.\)

Diện tích \(\Delta MNP\) có: \(\frac{{MP.MN}}{2} = \frac{{3.4}}{2} = 6\,c{m^2}\)

b. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HE \bot MP\\H{\rm{D}} \bot MN\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HEM = \angle H{\rm{D}}M = {90^0}\)

      Xét tứ giác \(M{\rm{D}}HE\) có: \(\angle DME = \angle M{\rm{D}}H = \angle HEM = {90^0} \Rightarrow M{\rm{D}}HE\) là hình chữ nhật (dhnb)

c. Ta có: \({S_{MNP}} = \frac{1}{2}MN.MP = \frac{1}{2}MH.NP\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow MH.NP = MN.MP\\ \Leftrightarrow MH.5 = 3.4\\ \Leftrightarrow MH = \frac{{12}}{5} = 2,4\;cm.\end{array}\)

Lại có \(MDHE\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow MH = DE = 2,4\;cm\)(hai đường chéo hình chữ nhật).

d. Vì \(M{\rm{D}}HE\) là hình chữ nhật (cmt)

\( \Rightarrow \angle DEH = \angle MHE\) (tính chất hình chữ nhật)

Xét \({\Delta _v}HEP\) có \(A\) là trung điểm của \(HP\left( {gt} \right) \Rightarrow E{\rm{A}}\) là đường trung tuyến của tam giác \(HEP.\)

\( \Rightarrow E{\rm{A}} = \frac{{HP}}{2} = HA\) (tính chất trong tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

\( \Rightarrow \Delta HA{\rm{E}}\) là tam giác cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \angle AHE = \angle A{\rm{E}}H\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(\angle MHE + \angle EHA = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DEH + \angle A{\rm{E}}H = {90^0} \Rightarrow \angle DE{\rm{A}} = {90^{^0}}\)