Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng BĐT Cô-si cho hai số ... Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

Giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right) = x + \dfrac{2}{{x - 1}} = x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} + 1\).

Do \(x > 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\\dfrac{2}{{x - 1}} > 0\end{array} \right.\). Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(x - 1,\,\,\dfrac{2}{{x - 1}}\) ta có :

\(x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\dfrac{2}{{x - 1}}}  = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow x - 1 + \dfrac{2}{{x - 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2  + 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \sqrt 2 \\x - 1 =  - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(f\left( x \right) \ge 2\sqrt 2  + 1 \Rightarrow \min f\left( x \right) = 1 + 2\sqrt 2  \Rightarrow m = 1 + 2\sqrt 2 \) đạt được khi \(x = 1 + \sqrt 2 \).

Chọn B.