A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(AH = x,\;\;CG = y\;\;\left( {0 < x,\;y < 6} \right).\) 

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác.

Chứng minh \(\Delta AEH \sim \Delta CGF\;\;\left( {g - g} \right)\) sau đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

Đặt \(AH = x,\;\;CG = y\;\;\left( {0 < x,\;y < 6} \right).\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {S_{EFGH}} + {S_{AHE}} + {S_{BFE}} + {S_{FCG}} + {S_{HDG}} = 36\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \left( {{S_{AHE}} + {S_{BFE}} + {S_{FCG}} + {S_{HDG}}} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \frac{1}{2}\left( {AE.AH + BE.BF + FC.CG + DH.DG} \right)\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 36 - \frac{1}{2}\left[ {2x + 4.3 + 3y + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} = 30 - \frac{1}{2}\left[ {2x + 3y + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\end{array}\)

Đặt \(S = \frac{1}{2}\left[ {2x + \left( {6 - y} \right)\left( {6 - x} \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2S = 2x + 3y + \left( {6 - x} \right)\left( {6 - y} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = xy - 4x - 3y + 36\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta CGF\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle HEA = \angle GCF = {90^0}\\\angle AEH = \angle CGF\;\;\;\\ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta CGF\;\;\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CG}} = \frac{{AH}}{{CF}}\)  (các cặp cạnh tương tứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{3} \Leftrightarrow xy = 6.\;\;\;\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\)  ta được: \(2S = 6 - 4x - 3.\frac{6}{x} + 36 \Leftrightarrow 2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;4x + \frac{{18}}{x} \ge 2\sqrt {4x.\frac{{18}}{x}}  = 12\sqrt 2 \\ \Rightarrow 2S = 42 - \left( {4x + \frac{{18}}{x}} \right) \le 42 - 12\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow S \le 21 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {S_{EFGH}} \ge 30 - 21 + 6\sqrt 2  = 9 + 6\sqrt 2 .\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 4x = \frac{{18}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\;\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(AH = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) thì hình thang \(EFGH\) có diện tích  nhỏ nhất.

Chọn A.