Cho điểm E thuộc nửa đường tròn tâm O, đường kính...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Tam giác ABC nội tiếp hình tròn, có cạnh BC là đường kính của đường tròn thì tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

+) Sử dụng hệ thức lượng của tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

2) Dựa vào tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông để chứng minh các điểm đó cùng thuộc một đường tròn.

3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền và ngược lại, trung điểm của một cạnh là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông.

4) Từ các phần trên kết hợp tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để suy ra \(\Delta ADM \sim \Delta EDA\) từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết:

1) Chứng minh rằng: \(\Delta MEN\) vuông tại E. Từ đó chứng minh \(DE.DM = D{N^2}\)

Do \(\Delta MEN\) nội tiếp nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có cạnh MN là đường kính.

\(\Delta MEN\) vuông tại E (định lý) \( \Rightarrow NE \bot ME\) hay \(NE \bot MD\)

Xét \(\Delta MND\) vuông tại N (ND là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại N) có đường cao NE (\(NE \bot MD\))

\( \Rightarrow \) \(DE.DM = D{N^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

2) Từ O kẻ OI vuông góc với ME (\(I \in ME\)).

Chứng minh rẳng: 4 điểm O; I; D; N cùng thuộc một đường tròn.

Xét nửa đường tròn \(\left( O \right)\) có \(OI \bot ME\) (gt) \( \Rightarrow \angle OID = {90^o}\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OID\) vuông tại I \( \Rightarrow \Delta OID\) nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD  (định lý)  (1)

Có ND là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại N \( \Rightarrow \angle OND = {90^o}\) (tính chất tiếp tuyến)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OND\) vuông tại N \( \Rightarrow \) \(\Delta OND\) nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD (định lý)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) 4 điểm O; I; D; N cùng thuộc đường tròn đường kính OD.

3) Vẽ đường tròn đường kính OD, cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là A. Chứng minh rằng: DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

Do \(\Delta OAD\) nội tiếp nửa đường tròn đường kính OD

\( \Rightarrow \Delta OAD\) vuông tại A \( \Rightarrow OA \bot DA\) mà A thuộc nửa đường tròn tâm O (gt)

\( \Rightarrow \) DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (dhnb tiếp tuyến). (đpcm)

4) Chứng minh rằng: \(\angle DEA = \angle DAM\)

Ta có DA là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (cmt)

DN là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O (gt)

\( \Rightarrow DA = DN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow D{A^2} = D{N^2} = DE.DM\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DM}}{{DA}}\)

Xét \(\Delta ADM\) và \(\Delta EDA\) có: \(\angle D\) chung; \(\frac{{DA}}{{DE}} = \frac{{DM}}{{DA}}\;\;\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ADM \sim \Delta EDA\;\;\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow \angle DEA = \angle DAM\) (2 góc tương ứng) (đpcm).