Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm x thỏa mãn điều kiện \(4 \ge x \ge 3\) và \(\dfrac{{x - 2}}{{5 - x}} > 0\)

+) Từ đó  giải bất phương trình \(f\left( x \right) \ge m\) có nghiệm với x thỏa mãn điều kiện khi \(m \le \max f\left( x \right).\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne 5\).

Giải bất phương trình thứ nhất ta có:

\(\dfrac{{x - 2}}{{5 - x}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\5 - x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2 < 0\\5 - x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\5 > x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\5 < x\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 > x > 2\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\5 < x\end{array} \right.\,\,\left( {vo\,\,ly} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 5 > x > 2\)

Mà kết hợp với điều kiện \(4 \ge x \ge 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 \ge x \ge 3\\5 > x > 2\end{array} \right. \Rightarrow 4 \ge x \ge 3\)

Giải bất phương trình thứ hai ta có: \(x - 1 \ge m \Leftrightarrow x \ge m + 1\)

Suy ra để hệ bất phương trình có nghiệm khi \(m + 1 \le 4 \Leftrightarrow m \le 3.\)

Vậy \(m \le 3\).