Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n}$

+) Nếu $H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

+) Nếu $H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số $M,\,m$ sao cho: $m \le {u_n} \le M\,,\,\,\forall n \in {N^*}$

Giải chi tiết:

Ta có: ${u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ...... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} > 0 \Rightarrow$ dãy $({u_n})$ là dãy số tăng.

Lại có : ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ..... + \frac{1}{{{n^2}}} \Rightarrow {u_n} > 1.$

$\begin{array}{l}{u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ...... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{(n - 1)n}}\\ \Leftrightarrow {u_n} < 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - .... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}\\ \Leftrightarrow {u_n} < 2 + \frac{1}{n} \Leftrightarrow {u_n} < 2.\end{array}$

$\Rightarrow 1 < {u_n} < 3{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow$ dãy $({u_n})$ là dãy bị chặn.

Chọn A.