Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đây là bài toán ngược :

Phương pháp : xây dựng được phương trình từ đó giải xác suât ban đầu

Sử dụng tính chất nhân xác suất  khi \({A_1},{A_2}....{A_n}\)là các biến cố độc lập nhau  ta có công thức nhân xác suất :

\(P\left( {{A_1} \cap {A_2}.... \cap {A_n}} \right) = P({A_1}).P\left( {{A_2}} \right)...P\left( {{A_n}} \right)\)

Giải chi tiết:

Gọi \({A_i}\) là biến cố “người thứ \(i\) ghi bàn” với \(i = 1;\;2;\;3.\)

Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x,{\rm{ }}P\left( {{A_2}} \right) = y,{\rm{ }}P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Ít nhất 1 trong 3 cầu thử ghi bàn : lấy tổng số trường hợp trừ đi trường hợp tất cả đều không ghi bàn :

Ta có: số TH  tất cả các cầu thủ không ghi bàn : \(\overline A  = \overline {{A_1}} .\overline {{A_2}} .\overline {{A_3}}  \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right).P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = 0,4(1 - x)(1 - y)\)

Nên Ít nhất 1 trong 3 cầu thủ ghi bàn  là : \(P(A) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,4(1 - x)(1 - y) = 0,976\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y =  - \frac{{47}}{{50}}\) (1).

Tương tự: cả 3 cầu thủ ghi bàn :\(B = {A_1}.{A_2}.{A_3}\), suy ra:

\(P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right).P\left( {{A_2}} \right).P\left( {{A_3}} \right) = 0,6xy = 0,336\) hay là \(xy = \frac{{14}}{{25}}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}xy = \frac{{14}}{{25}}\\x + y = \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{3}{2} - x\\{x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{{14}}{{25}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0,8\\y = 0,7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0,7\\y = 0,8\end{array} \right.\end{array} \right.\)

 Theo giả thiết ta có \(x > y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0,8\\y = 0,7\end{array} \right..\)

Ta có: TH có đúng 2 cầu thủ ghi bàn :\(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)

Nên \(P(C) = (1 - x)y.0,6 + x(1 - y).0,6 + xy.0,4 = 0,452\).

Chọn A