Tổng \(T = C_{2017}^1 + C_{2017}^3 + C_{2017}^5 +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tổng quát:

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Nhận xét : biểu thức bài cho gồm tổng của các \(C_n^k\) với k : lẻ

Để triệt tiêu các k chẵn : ta thực hiện 2 khai triển nhị thức Newton  sau đó trừ vế với vế.

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + ... + C_{2017}^{2017}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 - C_{2017}^1 + C_{2017}^2 - C_{2017}^3 + ... - C_{2017}^{2017}\,\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Xét hai khai triển:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^{2017}} = {\left( {1 + 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + C_{2017}^3 + ... + C_{2017}^{2017}\,\,\,\left( 1 \right)\\0 = {\left( {1 - 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0 - C_{2017}^1 + C_{2017}^2 - C_{2017}^3 + ... - C_{2017}^{2017}\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) theo vế ta được: \({2^{2017}} = \,\,\,2\left( {C_{2017}^1 + C_{2017}^3 + C_{2017}^5 + ... + C_{2017}^{2017}} \right) \Leftrightarrow {2^{2017}} = 2T \Rightarrow T = {2^{2016}}\).

Chọn B