Biểu thức \(\frac{{{x^{10}}}}{{10!}} + \frac{{{x^9...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét công thức tổng quát : \(\frac{{{x^k}}}{{k!}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{10 - k}}}}{{\left( {10 - k} \right)!}}\)

Biến đổi đại số để được tổng của 1 nhị thức Newton có dạng tổng quát:   

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Giải chi tiết:

Ta có:  \(\frac{{{x^k}}}{{k!}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{10 - k}}}}{{\left( {10 - k} \right)!}} = \frac{1}{{10!}}.\frac{{10!}}{{k!\left( {10 - k} \right)!}}.{x^k}.{\left( {1 - x} \right)^{10 - k}} = \frac{1}{{10!}}.C_{10}^k.{x^k}.{\left( {1 - x} \right)^{10 - k}}\)  với\(0 \le k \le 10\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{x^{10}}}}{{10!}} + \frac{{{x^9}}}{{9!}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{1!}} + \frac{{{x^8}}}{{8!}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{10}}}}{{10!}} = \frac{1}{{10!}}\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{x^k}.{{\left( {1 - x} \right)}^{10 - k}}} \\ \Leftrightarrow \frac{{{x^{10}}}}{{10!}} + \frac{{{x^9}}}{{9!}}.\frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{1!}} + \frac{{{x^8}}}{{8!}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{2!}} + ... + \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{10}}}}{{10!}} = \frac{1}{{10!}}{\left( {x + 1 - x} \right)^{10}} = \frac{1}{{10!}}\end{array}\)

Chọn C.