Giải các phương trình sau:a) \(\left( {x + 1} \rig...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 24\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 24\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 24\end{array}\)

Đặt \({x^2} + 5x + 5 = t\), khi đó phương trình trở thành \(\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 24\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 24 \Leftrightarrow {t^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t =  - 5\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 5 =  - 5\\{x^2} + 5x + 5 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 10 = 0\,\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\\{x^2} + 5x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 5\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0; - 5} \right\}\).

\(b)\,\,\sqrt {{x^2} + 2x}  - x - 1 + \dfrac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = 0\)

Điều kiện \({x^2} + 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 2\end{array} \right.\).

Ta có:\(\sqrt {{x^2} + 2x}  - x - 1 + \dfrac{{2x - 2}}{{\sqrt {{x^2} + 2x} }} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x}  + 2x - 2 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x}  \ge 0\), khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {x + 1} \right)t + 2x - 2 = 0\) (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn t tham số x có:

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {2x - 2} \right) = {x^2} - 6x + 9 = {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x + 1 - \left( {x - 3} \right)}}{2} = 2\\t = \dfrac{{x + 1 + \left( {x - 3} \right)}}{2} = x - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x}  = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {{x^2} + 2x}  = x - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1): \(\sqrt {{x^2} + 2x}  = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 5 \,\,\,\left( {tm} \right)\)

Giải (2): \(\sqrt {{x^2} + 2x}  = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} + 2x = {x^2} - 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 5 ; - 1 + \sqrt 5 } \right\}\)

\(c)\,\,\left( {\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right) = 2\).

Điều kiện \(x \ge \dfrac{{ - 2}}{3}\).

Với \(x \ge \dfrac{{ - 2}}{3}\) thì \(\sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2}  \ne 0\).

Nhân cả tử và mẫu của VT với \(\sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2}  \ne 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right) = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right)}}{{\left( {\sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2} } \right)}} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {1 + \sqrt {9{x^2} + 18x + 8} } \right)}}{{\sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2} }} = 2 \Leftrightarrow 1 + \sqrt {\left( {3x + 4} \right)\left( {3x + 2} \right)}  = \sqrt {3x + 4}  + \sqrt {3x + 2} \\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sqrt {3x + 2} } \right)\left( {1 - \sqrt {3x + 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x + 2}  = 1\\\sqrt {3x + 4}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - \dfrac{1}{3}\).