Số nghiệm của phương trình \(\cos 2\left( {x + \fr...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng : Công thức hạ bậc \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)

Công thức \(\cos \alpha  = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)

Đưa về phương trình bậc 2 ẩn t.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\).

Do đó phương trình:

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow  - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = t\;\;\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - 2{t^2} + 4t - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{2}\;\;\left( {ktm} \right)\\t = \frac{1}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le  - \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le 2\pi \\0 \le \frac{\pi }{2} + m2\pi  \le 2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{13}}{{12}}\\ - \frac{1}{4} \le m \le \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1 \Rightarrow x = \frac{{11\pi }}{6}\\m = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array} \right..\)

 Vậy có hai nghiệm thỏa mãn.

Chọn B