Tìm m để phương trình \({\sin ^8}x\, + \,{\cos ^8}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chuyển vế , sử dụng công thức nhân đôi

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,(1\, - \,2{\sin ^2}x){\sin ^8}x - \,(\,2\,{\cos ^2}x - \,1)\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\cos 2x\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos 2x.\,{\sin ^8}x - \,\,\cos 2x.{\cos ^8}x\, = \frac{m}{2}\cos 2x\)

+) Biện luận nghiệm của phương trình : \({\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,Pt \Leftrightarrow \,\,\,(1\, - \,2{\sin ^2}x){\sin ^8}x - \,(\,2\,{\cos ^2}x - \,1)\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\cos 2x\\\, \Leftrightarrow \,\,\,\cos 2x.\,{\sin ^8}x - \,\,\cos 2x.{\cos ^8}x\, = \frac{m}{2}\cos 2x\\\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x)\,cos2x = \frac{m}{2}\cos 2x\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x\, = \,\frac{m}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải (1) ta được \(2x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Xét: \(0 < \frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow k \in \emptyset \,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Họ nghiệm này không cho nghiệm nào thõa mãn.

Giải (2):  Xét  \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\sin x < \cos x\); từ đó \({\sin ^8} - \,\,{\cos ^8}0 < {\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x < {\sin ^8}\frac{\pi }{4} - \,\,{\cos ^8}\frac{\pi }{4}\)

Suy ra: \( - 1 < {\sin ^8}x - \,\,{\cos ^8}x < 0\) hay để phương trình có nghiêm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\) thì \( - 1 < \frac{m}{2} < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 0\)