Giải phương trình \(\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} }  +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Nhân cả 2 vế với \(\sqrt 2 \)

+) Nhóm hằng đẳng thức thứ hai, phá căn bậc hai.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ge \frac{1}{2}\)

Phương trình \(\sqrt {x - \sqrt {2x - 1} }  + \sqrt {x + 4 - 3\sqrt {2x - 1} }  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2x - 2\sqrt {2x - 1} }  + \sqrt {2x + 8 - 6\sqrt {2x - 1} }  = 2\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1 - 2\sqrt {2x - 1}  + 1}  + \sqrt {2x - 1 - 6\sqrt {2x - 1}  + 9}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {2x - 1}  - 3} \right)}^2}}  = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right| + \left| {\sqrt {2x - 1}  - 3} \right| = 2\) (*)

Giải phương trình:      \(\sqrt {2x - 1}  - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 1 \Leftrightarrow 2x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

                                    \(\sqrt {2x - 1}  - 3 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5\)

TH1: Nếu \(\frac{1}{2} \le x \le 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow 1 - \sqrt {2x - 1}  + 3 - \sqrt {2x - 1}  = 2 \Leftrightarrow 4 - 2\sqrt {2x - 1}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\,(TM)\)

TH2: Nếu \(1 < x < 5\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  - 1 + 3 - \sqrt {2x - 1}  = 2 \Leftrightarrow 2 = 2\) (luôn đúng)

TH3: Nếu \(x \ge 5\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  - 1 + \sqrt {2x - 1}  - 3 = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {2x - 1}  - 4 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2x - 1}  = 3 \Leftrightarrow x = 5\,\,(TM)\)

Vậy, phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left[ {1;5} \right]\).