Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}\)

Giải chi tiết:

\(y = \cos 2x + \sin \,x - \sqrt 3 \left( {\sin 2x + \cos x} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = \left( {\cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x} \right) + \left( {\sin \,x - \sqrt 3 \cos x} \right) + 3\)

\( \Leftrightarrow y =  - 2\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}\cos 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin \,x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3\)

\( \Leftrightarrow y =  - 2\left( {\cos \dfrac{{2\pi }}{3}\cos 2x + \sin \dfrac{{2\pi }}{3}\sin 2x} \right) + 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{3}\sin \,x - \sin \dfrac{\pi }{3}\cos x} \right) + 3\)

\( \Leftrightarrow y =  - 2\cos \left( {2x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = 4{\sin ^2}\left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) + 1\)

Ta có: \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{3} \in \left[ { - \dfrac{{2\pi }}{3};\dfrac{\pi }{6}} \right]\,\)

Khi đó: \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\, \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]\,\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t + 1,\,\,t \in \left[ { - \sqrt 3 ;1} \right],\,\,f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{2}\)

Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]\) có \(f\left( { - \sqrt 3 } \right) = 4 - \sqrt 3 ,\,\,f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4},\,\,f\left( 1 \right) = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 3\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]} y = \dfrac{3}{4},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2}} \right]} y = 3\)