Trên hệ trục tọa độ \(\left( {O;\;\overrightarrow...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng tính chất tam giác vuông cân.

+) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \).

+) \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {{x_C} - 1;\,{y_C} - 1} \right)\,;\,\,\overrightarrow {BA}  = \left( {1;\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 1} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - 1} \right)}^2}} \\\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} \end{array} \right..\)

Tam giác ABC vuông cân tại  \(B \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA}  \bot \overrightarrow {BC} \\\left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = {x_C} - 1 + 3\left( {{y_C} - 1} \right) = 0\\{\left( {{x_C} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = 10\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - 3{y_C}\\{\left( {3 - 3{y_C}} \right)^2} + {\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - 3{y_C}\\9{\left( {{y_C} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - 3{y_C}\\{\left( {{y_C} - 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4 - 3{y_C}\\\left[ \begin{array}{l}{y_C} = 2\\{y_C} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 2\\{y_C} = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;\;2} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 4\\{y_C} = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;\;0} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn D.