Cho x, y là hai số thực thỏa mãn \(x + y...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(P = 3\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\)

Ta tìm các hằng số \(m,n \in R\) sao cho \({x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = m{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + n{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\)

Ta có :  

\(\begin{array}{l}\,\,\,m{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + n{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\\ = m\left( {{x^4} + {y^4} + 2{x^2}{y^2}} \right) + n\left( {{x^4} + {y^4} - 2{x^2}{y^2}} \right)\\ = \left( {m + n} \right)\left( {{x^4} + {y^4}} \right) + \left( {2m - 2n} \right){x^2}{y^2}\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}m + n = 1\\2\left( {m - n} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{4}\\n = \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = \frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + \frac{1}{4}{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} \ge \frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}P = 3\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1 \ge 3.\frac{3}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{9}{4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + {y^2}\) ta có \({x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0 \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + 2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow t = {x^2} + {y^2} \ge \frac{1}{2}{.2^2} = 2\)

Khi đó \(P \ge \frac{9}{4}{t^2} - 2t + 1\)

Xét hàm số  \(f\left( t \right) = \frac{9}{4}{t^2} - 2t + 1\) với \(t \ge 2\) ta có BBT :

Từ BBT ta có \(f\left( t \right) \ge 6 \Rightarrow P \ge 6\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 2\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {x = y = 1} \right.\).

Vậy \(\min P = 6 \Leftrightarrow x = y = 1\).