B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính S₁, S₂, S₃ và rút ra quy luật tính S_n.

+) Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\) với u₁ và q là số hạng đầu tiên và công bội của CSN đó.

Giải chi tiết:

\({{S}_{1}}={{a}^{2}}\)

Hình vuông C₂ có cạnh bằng \(\sqrt{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\Rightarrow {{S}_{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{8}\)

Hình vuông C₃ có cạnh bằng \(\sqrt{{{\left( \frac{3}{4}.\frac{a\sqrt{10}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{4}\frac{a\sqrt{10}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{5{{a}^{2}}}{8}\Rightarrow {{S}_{3}}={{\left( \frac{5{{a}^{2}}}{8} \right)}^{2}}\)

Cứ tiếp tục như vậy ta tính được \({{S}_{n}}={{\left( \frac{5{{a}^{2}}}{8} \right)}^{n-1}}\)

Khi đó  \(T={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}+...={{a}^{2}}\left( 1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+... \right)\),

Trong đó \(1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+...\)   là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({{u}_{1}}=1\) và công bội \(q=\frac{5}{8}<1\), do đó  \(1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+...=\frac{1}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow T=\frac{8{{a}^{2}}}{3}=\frac{50}{3}\Leftrightarrow a=\frac{5}{2}\)

Chọn B.