Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định chính xác vị trí của tâm mặt cầu.

- Sử dụng định lý Sin, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)

Trong đó, R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Giải chi tiết:

Vì SA = SB = SC nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\Rightarrow SO\bot (ABC)\).

Gọi M là trung điểm của SC.

Trong mặt phẳng (SOC), dựng \(MI\bot SC,\,\,I\in SO\).

Vì \(I\in SO\Rightarrow IA=IB=IC\)

     \(I\in IM\Rightarrow IS=IC\)

\(\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

 Áp dụng định lý Sin, ta có : \(\frac{BC}{\sin A}=2r\)  (r: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

                                        \(\Leftrightarrow \frac{2a}{\sin {{120}^{0}}}=2r\Leftrightarrow r=\frac{2a}{\sqrt{3}}\)

Tam giác SOC vuông tại O:  \(S{{O}^{2}}=S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}={{(2a)}^{2}}-{{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}=\frac{8a}{3}\Rightarrow SO=a\sqrt{\frac{8}{3}}\).

Dễ dàng chứng minh: \(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOC\Rightarrow \frac{SI}{SC}=\frac{SM}{SO}\Leftrightarrow \frac{SI}{2a}=\frac{a}{a\sqrt{\frac{8}{3}}}\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng \(SI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).

Chọn: D.