Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx, y...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quanh trục Ox là: \(V = \pi \int\limits_0^e {\left| {f{{(x)}^2} - g{{(x)}^2}} \right|d{\rm{x}}} \)

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \(x\ln {\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x > 0 \hfill \cr   \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   x = 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Rightarrow x = 1.\)

Áp dụng công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{{\left( {x\ln {\rm{x}}} \right)}^2}d{\rm{x}}}  = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}{\rm{x}}d{\rm{x}}} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {\ln ^2}x \hfill \cr   dv = {x^2}dx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = 2\ln x{{dx} \over x} \hfill \cr   v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {V \over \pi } = \left. {{{{x^3}} \over 3}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - {2 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx}  = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}I\)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = \ln x \hfill \cr   dv = {x^2}dx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = {{dx} \over x} \hfill \cr   v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|_1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx}  = {{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}\left. {{{{x^3}} \over 3}} \right|_1^e = {{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}\left( {{{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}} \right) = {{2{e^3}} \over 9} + {1 \over 9}\)

Vậy  \({V \over \pi } = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}I = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}\left( {{{2{e^3}} \over 9} + {1 \over 9}} \right) = {{5{e^3}} \over {27}} - {2 \over {27}} \Rightarrow V = {\pi  \over {27}}\left( {5{e^3} - 2} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 27 \hfill \cr   b = 5 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn A.