Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến số đưa về tích phân hàm phân thức cơ bản bằng cách đặt \(t=x{{e}^{x}}+1\)

Giải chi tiết:

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+x \right){{\text{e}}^{x}}}{x+{{\text{e}}^{-x}}}\text{d}x}\)\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( x+1 \right){{\text{e}}^{x}}x{{\text{e}}^{x}}}{x{{\text{e}}^{x}}+1}\text{d}x}\). Đặt \(t=x{{\text{e}}^{x}}+1\) \(\Rightarrow \)\(\text{d}t=\left( 1+x \right){{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).

Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=1\); \(x=1\Rightarrow t=\text{e}+1\).

Khi đó \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}+1}{\frac{t-1}{t}\text{d}t}\)\(=\int\limits_{1}^{\text{e}+1}{\left( 1-\frac{1}{t} \right)\text{d}t}\)\(=\left( t-\ln \left| t \right| \right)\left| \begin{matrix}  \text{e}+1  \\ 1 \\\end{matrix} \right.\)\(=\text{e}-\ln \left( \text{e}+1 \right)\).

Suy ra \(a=1\), \(b=-1\), \(c=1\). Vậy \(P=a+2b-c=-2\).

Chọn C