Cho biết \(a,b>0\) thỏa mãn \(11x+10y=2017.\) G...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\).

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại \(M=\frac{1}{\frac{x}{10}}+\frac{1}{\frac{y}{11}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a=\frac{x}{10};b=\frac{y}{11}\) ta nhận được

\(M = \frac{1}{{\frac{x}{{10}}}} + \frac{1}{{\frac{y}{{11}}}} \ge \frac{4}{{\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{11}}}} = \frac{4}{{\frac{{11x + 10y}}{{10.11}}}} = \frac{{440}}{{11x + 10y}} = \frac{{440}}{{2017}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{10}} = \frac{y}{{11}}\\11x + 10y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\11x + 10y = 2017\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\20y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2017}}{{22}}\\y = \frac{{2017}}{{20}}\end{array} \right..\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{440}{2017}\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2017}{20};\frac{2017}{22} \right).\)

Chọn đáp án D.