Cho \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\) Khi đó giá trị...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(x\) và tham số \(P\)

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi suy ra GTLN của \(P\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có:  \(P=\frac{27-2x}{{{x}^{2}}+9}\Leftrightarrow P\left( {{x}^{2}}+9 \right)=27-2x\Leftrightarrow P{{x}^{2}}+2x+9\left( P-3 \right)=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt được GTLN thì \(\left( 1 \right)\) phải có nghiệm.

Trường hợp 1. Với \(P=0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2x+9\left( 0-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x-27=0\Leftrightarrow x=\frac{27}{2}.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - P\left( {9P - 27} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 1 - 9{P^2} + 27P \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} - 27P - 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 3P - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{P^2} - 2.P.\frac{3}{2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right) - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{1}{9} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{{85}}{{36}} \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {P - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( {P - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) \le 0.\end{array}\)

Do \(P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}>P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\) nên\(\left( P-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\left( P-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)\le 0\Leftrightarrow \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6}\le P\le \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\)

Với \(P=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \,\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right){x^2} + 2\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)x + 9{\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right] + {\left[ {9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right)} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 9\left( { - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt {85} }}{6}} \right).\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6}\) đạt được tại \(x=-9\left( -\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{85}}{6} \right)=9\left( \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{85}}{6} \right).\)

Chọn đáp án D.