Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \(d:y...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: +) Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol.+) Áp dụng hệ thức Vi-et vào biến đổi biểu thức.+) Giải và biện luận phương trình.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0(1)\)Có \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - 2m + 4 = {m^2} - 4m + 5 = {(m - 2)^2} + 1 > 0\forall m\)

Suy ra (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};x_1^2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};x_2^2} \right)\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (1) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}M = x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\,\, = 4{(m - 1)^2} - 2(2m - 4)\\\,\,\,\,\,\, = 4({m^2} - 2m + 1) - 4m + 8\\\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} - 12m + 12\\\,\,\,\,\,\, = {(2m)^2} - 2.2m.3 + 9 + 3\\\,\,\,\,\, = {(2m - 3)^2} + 3 \ge 3\end{array}\)Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3 khi \(m = \frac{3}{2}\)Chọn B.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = 2m - 4\end{array} \right.\)