Phương trình: \({x^2} - 2x + 3\sqrt {{x^2} - 2x +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta thấy bên ngoài và bên trong căn thức có biểu thức \({x^2} - 2x\) nên ta chọn phương pháp đặt ẩn phụ để giải. Đặt \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = t\) với (\(t \ge \sqrt 3 \)) \( \Rightarrow \)\({x^2} - 2x = {t^2} - 4\). Khi tìm được giá trị của \(t\) ta thay ngược lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết:

\({x^2} - 2x + 3\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = 6\left( * \right)\)

ĐK: \({x^2} - 2x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} +  > 0\) luôn đúng với \(\forall x\).

Đặt: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = t\) (\(t \ge \sqrt 3 \))

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = {t^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x = {t^2} - 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} + 3t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 5t - 2t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 5} \right) - 2\left( {t + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 5} \right)\left( {t - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 5 = 0\\t - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - 2x + 4}  = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 4 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\\\Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 2\).

Chọn C.