Cặp số \((x;y)\) với \(x>1\) nào sau đây là ngh...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Đặt \(\left\{\begin{align} & x+y=u \\ & xy=v \\\end{align} \right.\) sau đó ta biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản hơn với ẩn \(u,v\)

Rút \(v\) theo \(u\) từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để giải phương trình bậc hai 1 ẩn \(u\)

Tìm được nghiệm \(u,v\) thay lại tìm nghiệm \(x,y\)

Cách làm:

Giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + xy = 7\\{x^2} + {y^2} + x + y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - xy = 7\\{\left( {x + y} \right)^2} + \left( {x + y} \right) - 2xy = 8\end{array} \right.\)

Đặt: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = u\\xy = v\end{array} \right.\left( {{u^2} \ge 4v} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - v = 7\\{u^2} + u - 2v = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\{u^2} + u - 2\left( {{u^2} - 7} \right) = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\{u^2} - u - 6 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\\left( {u - 3} \right)\left( {u + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = {u^2} - 7\\\left[ \begin{array}{l}u = - 2\\u = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}u = - 2\\v = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x, y\) là nghiệm của phương trình: \(T^2 - 3T + 2 = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu: 

\(\left\{ \begin{array}{l}u = - 2\\v = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = - 2\\xy = - 3\end{array} \right. \Rightarrow x,y\) \(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(T^2 +2T -3= 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = -3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = -3\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Chọn D.