Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\  & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được hệ phương trình đối xứng loại 1

Phân tích phương trình (2) theo hằng đẳng thức \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)\)  để giải ra giá trị \(S=(a+b)\) và \(P=ab\)

Khi đó \(a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-ST+P=0\)

Giải và biện luận phương trình trên theo tham số \(m\) để có nghiệm \((x,y)\) là số nguyên

Giải chi tiết:

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x}=a \\  & \sqrt{y}=b \\ \end{align} \right.\left( a,b\ge 0 \right)\) ta được 

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^3} + {b^3} = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) = 1 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\ab = m\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-T+m=0\)  (*)

Để phương trình (*) có \(2\) nghiệm không âm thì 

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m \ge 0\\1 \ge 0\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}\)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm \((x;y)\)  là số nguyên thì phương trình (*) có nghiệm nguyên (do \(S=1\) là số nguyên)

Phương trình (*) có nghiệm hữu tỉ \(\Leftrightarrow \Delta \) là số chính phương

Mà \(\Delta =1-4m\left( 0\le m\le \frac{1}{4} \right)\Rightarrow \frac{1}{4}\le m\le 1\Rightarrow \Delta \) chính phương \(\Leftrightarrow \Delta =1\Leftrightarrow m=0\)

Vậy \(m=0\) là giá trị cần tìm.

Chọn D.