Chóp S.ABC, \(SA\bot \left( ABCD \right),\,\,ABCD\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* Vẽ M là trung điểm của AB \(\Rightarrow \frac{SG}{SM}=\frac{2}{3}\).

* Nối \(KD\cap AB=I,\,\,\Delta IAD\) có \(BK\) là đường trung bình \(\Rightarrow B\) là trung điểm của IA \(\Rightarrow IA=2a\).

* Đổi khoảng cách \(G\to M\) : \(\frac{SG}{SM}=\frac{d\left( G;\left( SKD \right) \right)}{d\left( M;\left( SKD \right) \right)}=\frac{2}{3}\Rightarrow d\left( G;\left( SKD \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( M;\left( SKD \right) \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

* Đổi khoảng cách \(M\to A\) : \(\frac{IM}{IA}=\frac{d\left( M;\left( SKD \right) \right)}{d\left( A;\left( SKD \right) \right)}=\frac{3}{4}\Rightarrow d\left( M;\left( SKD \right) \right)=\frac{3}{4}d\left( A;\left( SKD \right) \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

* Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d\left( G;\left( SKD \right) \right)=\frac{2}{3}.\frac{3}{4}d\left( A;\left( SKD \right) \right)=\frac{1}{2}AH\).

* Tính AH :

+ \(\Delta SAC\) vuông \(\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=2a\).

+ \(\Delta SAE\) vuông : \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{2a}{\sqrt{6}}\).

\(\Rightarrow \) Đáp số \(\frac{a}{\sqrt{6}}\).

Chọn đáp án A.