Chóp S.ABC, \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\,\De...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

* \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}SE.BC = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{2} \Rightarrow SE = a\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{E^2} - A{E^2}}  = \frac{{3a}}{2}\)

* Vẽ \(MH//SA,\,\,H \in AC \Rightarrow H\) là trung điểm AC, \(MH = \frac{{3a}}{4}\).

* Nối \(AM \cap SH = G \Rightarrow G\) là trọng tâm \(\Delta SAC\),

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{GS}}{{GH}} = 2 = \frac{{d\left( {S;\left( {MAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {MAB} \right)} \right)}}\\ \Rightarrow d\left( {S;\left( {MAB} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {MAB} \right)} \right) = 2HK\end{array}\)

* \(IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{{16}}{{9{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{64}}{{9{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \frac{{3a}}{8} \Rightarrow d = 2HK = \frac{{3a}}{4}\).

Chọn đáp án D.