Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A. Để \(\Delta ABC\) vuông (tại A) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m + 1 \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = {m^2} \Rightarrow A\left( {0;{m^2}} \right) \hfill \cr   x = \sqrt {m + 1}  \Rightarrow y = -2m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt {m + 1}  \Rightarrow y = -2m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {m + 1} ; - 2m - 1} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Dễ thấy \(\Delta ABC\) cân tại A, để \(\Delta ABC\) vuông (tại A) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = \left( {\sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - \sqrt {m + 1} ; - {m^2} - 2m - 1} \right)  \cr   &  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - \left( {m + 1} \right) + {\left( { - {m^2} - 2m - 1} \right)^2} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow  - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m + 1 = 0 \hfill \cr   {\left( {m + 1} \right)^3} = 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m =  - 1\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Chọn B.