Cho hàm số \( (P):\, y=-x^2\) và đường thẳng d đi...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Phương trình đường thẳng d đi qua N(–1; –2) và có hệ số góc k là:

    \(y = k\left( {x + 1} \right) - 2 = kx + k - 2.\)

Phương trình hoành độ của d và (P) là:

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\, - {x^2} = kx + k - 2 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + kx + k - 2 = 0\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

Có  \(\Delta  = {k^2} - 4\left( {k - 2} \right) = {k^2} - 4k + 8 = {k^2} - 4k + 4 + 4 = {\left( {k - 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\forall k.\)

Vậy với mọi k thì d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

b) Theo đề bài ta có:  \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right).\)

Khi đó  là hai nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - k \hfill \cr {x_1}{x_2} = k - 2 \hfill \cr} \right..\)

Khi đó  \(A\left( {{x_1};k{x_1} + k - 2} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};k{x_2} + k - 2} \right)\)

\( \eqalign{ & \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} = {x_1} + {x_2} + k{x_1} + k - 2 + k{x_2} + k - 2 \cr & = \left( {k + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2k - 4 \cr & = - k\left( {k + 1} \right) + 2k - 4 = - {k^2} - k + 2k - 4 \cr & = - {k^2} + k - 4 = - \left( {{k^2} - k} \right) - 4 \cr & = - \left( {{k^2} - 2.{1 \over 2}k + {1 \over 4} - {1 \over 4}} \right) - 4 \cr & = - {\left( {k - {1 \over 2}} \right)^2} - {{15} \over 4} \le - {{15} \over 4}. \cr & \Rightarrow {S_{\max }} = - {{15} \over 4}. \cr} \)

Dấu “=” xảy ra  \( \Leftrightarrow k - {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow k = {1 \over 2}.\)

Vậy \(k =  - {1 \over 2}\)  thì  \( {S_{\max }} =  - {{15} \over 4}. \)