Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Nhân liên hợp để khử dạng \(\frac{0}{0}\).

- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của \(x\) bậc cao nhất.

- Thay giới hạn .

Giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} - x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} - x + 1} \right)\left( {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)(x - 1) + {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)(x - 1) + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^3} + 1 - {{(x - 1)}^3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)(x - 1) + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^3} + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)(x - 1) + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{x^2} - 3x + 2}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)(x - 1) + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}}} \right)}^2} + \left( {\sqrt[3]{{1 + \frac{1}{{{x^3}}}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) + {{\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}^2}}} = \frac{3}{{1 + 1 + 1}} = 1\)

Chọn: D.