a. Với n là số tự nhiên chứng minh: \(\left( {{3}^...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 - Nhóm các hạng tử có nhân tử chung và áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng.

-        Nhóm các hạng tử đồng dạng và rút gọn, thay giá trị \(x-y=1\) vào biểu thức đã biến đổi ta được giá trị của P là một hằng số không phụ thuộc vào giá trị của x và y.

Giải chi tiết:

a) Ta có: \({{3}^{n+3}}-{{2.3}^{n}}+{{2}^{n+5}}-{{7.2}^{n}}\)

           \(\begin{align}  & ={{3}^{n}}\left( {{3}^{3}}-2 \right)+{{2}^{n}}\left( {{2}^{5}}-7 \right) \\  & ={{3}^{n}}.25+{{2}^{n}}.25 \\  & =25\left( {{3}^{n}}+{{2}^{n}} \right)\vdots 25\ \ \forall n\in N. \\ \end{align}\)

b) Vì \(x-y=1\) nên ta có:

\(\begin{align}  & P={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y-{{x}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{y}^{3}}-{{y}^{2}}+5x-5y+2013 \\  & =\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)-\left( {{x}^{2}}y-x{{y}^{2}} \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+\left( 5x-5y \right)+2013 \\  & =\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-xy\left( x-y \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+5\left( x-y \right)+2013 \\  & ={{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}-xy-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+5+2013 \\  & =2018 \\ \end{align}\)

Vậy giá trị của đa thức P luôn là một hằng số với \(\forall x,y.\)