Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V=\frac{1}{3}h.S\) với h là chiều cao hình chóp và S là diện tích đáy.

+) Xác định chiều cao của hình chóp theo hệ quả nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau có giao tuyến là d thì bất kì đường thẳng \(\Delta \) nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến d thì \(\Delta \) sẽ vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\\Delta  \subset \left( P \right);\Delta  \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \Delta  \bot \left( Q \right)\).

Giải chi tiết:

Lấy M là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên \(SM\bot AB\) (1).

Lại có \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\)(gt) và \(\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right)=AB\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(SM\bot \left( ABC \right)\).

Tam giác ABC đều cạnh a mà M là trung điểm AB nên \(CM\bot AB\). Theo định lý Pytago trong tam giác CMB vuông tại M ta có:

\(CM=\sqrt{C{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}CM.AB=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Vì \(\Delta SAB=\Delta CAB\) và cùng là tam giác đều cạnh a nên \(SM=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SM.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}}{8}\).

Chọn C.