Phương trình \({{4}^{x}}+{{2}^{x}}-m=0\)có nghiệm...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc \(2\)theo \(t={{2}^{x}}.\) Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì phương trình bậc \(2\) theo \(t\) cần có duy nhất nghiệm dương. Biện luận theo \(m\) để tìm giá trị \(m.\)

Giải chi tiết:

Ta có \({4^x} + {2^x} - m = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = {2^x}\\{t^2} + t - m = 0\,\,\left( 1 \right).\end{array} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( 1 \right)\) cần có duy nhất nghiệm dương.

Trường hợp 1. \(\left( 1 \right)\) có duy nhất nghiệm, khi đó \(\Delta =1+4m=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{4}.\) Khi đó \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(t=-\frac{1}{2}<0.\)

Trường hợp 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt, khi đó ta có \(m>-\frac{1}{4}\) và hai nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{{ - 1 + \sqrt {1 + 4m} }}{2}\\{t_2} = \frac{{ - 1 - \sqrt {1 + 4m} }}{2} < 0\end{array} \right..\) Do đó để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm dương thì điều kiện cần là \({{t}_{1}}=\frac{-1+\sqrt{1+4m}}{2}>0\Leftrightarrow \sqrt{1+4m}>1\Leftrightarrow m>0.\)

Chọn đáp án A.