Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ trung tuyến AM. Từ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau, tính chất tia phân giác.

Giải chi tiết:

a)     Tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là tia phân giác của góc A.

Ta có ME vuông góc với AB tại E nên AEM là tam giác vuông tại E; MF vuông góc với AC tại F nên AFM là tam giác vuông tại F

Xét hai tam giác vuông AEM và AFM ta có

AM là cạnh chung

\(\widehat{EAM}=\widehat{FAM}\) (do AM là tia phân giác của góc A)

Vậy \(\Delta AEM=\Delta \text{AF}M\) (cạnh huyền – góc nhọn)

b)     Theo câu a ta có \(\Delta AEM=\Delta \text{AF}M\) suy ra :

AE = AF (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

ME = MF (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Do đó hai điểm A, M nằm trên đường trung trực của EF.

Vậy AM là đường trung trực của EF.

c)     Xét hai tam giác vuông: \(\Delta ABD\) vuông tại B, \(\Delta ACD\) vuông tại C ta có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)

AD là cạnh chung

Vậy \(\Delta ABD=\Delta ACD\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Do đó D thuộc tia phân giác của góc A (1)

Lại có AM là tia phân giác của góc A, hay M thuộc tia phân giác của góc A (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm A, M, D thẳng hàng.