Cho biểu thức: \(f(x) = {x^2} - (2m + 3)x + {m^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

b) Phân tích f(x) dưới dạng bình phương.

Giải chi tiết:

a) Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) > 0\\2m + 3 > 0\\{m^2} - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12m + 13 > 0\\m > \frac{{ - 3}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\ - \frac{{13}}{{12}} < m <  - 1\end{array} \right..\)

b) Phân tích f(x) dưới dạng bình phương ta được:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {x - \frac{{2m + 3}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{2m + 3}}{2}} \right)^2} + {m^2} - 1\\f\left( x \right) = {\left( {x - \frac{{2m + 3}}{2}} \right)^2} - \frac{{12m + 13}}{4} \ge  - \frac{{12m + 13}}{4}.\end{array}\)

Để giá trị nhỏ nhất của m thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi:

\(\frac{{2017}}{4} = \frac{{ - 12m - 13}}{4} \Leftrightarrow  - 12m - 13 = 2017 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1015}}{6}.\)