Kết luận nào sau đây đúng về số nghiệm của hệ phươ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Từ hai phương trình đã cho ta làm xuất hiện phương trình hệ quả là phương trình tích.

Giải chi tiết:

Từ phương trình (2) ta có:

+) Nếu \(x=0\) thì \(y=0\), ngược lại, nếu \(y=0\Rightarrow x=0\), nghiệm \((x;y)=(0;0)\), thỏa mãn phương trình (1).

 Do đó (x; y) = (0; 0) là một nghiệm của hệ phương trình.

+) Nếu \(xy\ne 0\): Nhân hai vế của (2) với x  rồi cộng với (1) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {x{y^2} + {x^3}y + 2{x^2}} \right) + \left( {x{y^2} - 2y - 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x{y^2} - 2y + {x^3}y - {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x{y^2} - 2y} \right) + \left( {{x^3}y - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2y\left( {xy - 1} \right) + {x^2}\left( {xy - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {xy - 1} \right)\left( {2y + {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = 1\\2y + {x^2} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(xy=1\)ta có \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\y(xy - 2) = 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\ - \frac{1}{x} = 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\3{x^3} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{1}{x}\\x =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \sqrt[3]{3}\\x =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}\end{array} \right.\)

Suy ra nghiệm của hệ là\(\left( x;y \right)=\left( \frac{-1}{\sqrt[3]{3}};-\sqrt[3]{3} \right)\)

+) Với \(2y+{{x}^{2}}=0\)ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2y + {x^2} = 0\\y(xy - 2) = 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{{{x^2}}}{2}\\\frac{{{x^2}}}{2}(\frac{{{x^3}}}{2} + 2) = 3{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{{{x^2}}}{2}\\\frac{{{x^5}}}{4} = 2{x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{{{x^2}}}{2}\\{x^3} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 2\\x = 2\end{array} \right.\)

Suy ra nghiệm của hệ là \(\left( x;y \right)=\left( 2;-2 \right)\)

Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm \(\left( x;y \right)\)là \(\left( 0;0 \right),\,\,\left( 2;-2 \right),\,\,\left( \frac{-1}{\sqrt[3]{3}};-\sqrt[3]{3} \right)\)

Chọn C.