Cho hình thang ABCD (AB || CD). Gọi M là trung điể...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý Talet và dữ kiện đề bài cho để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp.

- Từ đó chứng minh được cặp tam giác đồng dạng.

- Áp dụng định lý Talet đảo để tìm ra điều cần chứng minh.

Giải chi tiết:

Vì \(AB\parallel CD\) nên \(AB\parallel MD\) và \(AB\parallel MC\).

Vì \(AB\parallel MD\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BE}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DM}}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(AB\parallel MC\), áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{FB}{FM}=\frac{FA}{FC}=\frac{AB}{MC}\) (2)

Mà: DM = MC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\frac{AB}{DM}=\frac{AB}{MC}\Rightarrow \frac{EA}{EM}=\frac{FB}{FM}\)

\(\Rightarrow \frac{ME}{EA}=\frac{MF}{FB}\Rightarrow \frac{ME}{EA+ME}=\frac{MF}{MF+FB}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow \frac{ME}{MA}=\frac{MF}{MB}\)

Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta MAB\) ta có:

   \(\frac{ME}{MA}=\frac{MF}{MB}\) (chứng minh trên)

    \(\widehat{M}\ chung\)

\(\Rightarrow \Delta MEF\backsim \Delta MAB\)(c – g – c)

\(\Rightarrow \frac{ME}{MA}=\frac{MF}{MB}=\frac{EF}{AB}\Rightarrow EF\parallel AB\)(theo định lý Talet đảo)

Mà \(AB\parallel CD\Rightarrow EF\parallel CD\)(điều phải chứng minh).