Giải phương trình: \(\frac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

$\frac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \frac{1}{{b - a}}\left( {\frac{1}{{x + a}} - \frac{1}{{x + b}}} \right),a \ne b$ . Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa  ẩn ở mẫu.

Giải chi tiết:

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \frac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{2}{5}\end{array}$

ĐKXĐ: $x \ne \left\{ { - 1; - 3; - 5; - 7; - 9} \right\}$ .

Khi đó:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 7}} + \frac{1}{{x + 7}} - \frac{1}{{x + 9}} = \frac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 9}} = \frac{2}{5}\\\Leftrightarrow \frac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}\\ \Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 11\end{array} \right.(tm)\\\Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}\end{array}$