Cho tam giác ABC, \(\widehat{A}=...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng các tính chất và định lý đã học để tìm ra dữ kiện cần thiết.

- Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra giá trị của DH, HE.

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(\begin{align}  & A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{15}^{2}}+{{20}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ & \Rightarrow BC=25 \\\end{align}\)

Ta có: \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.AH.BC\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{15.20}{25}=12\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,A{{B}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{15}^{2}}={{12}^{2}}+H{{B}^{2}} \\ & \Rightarrow H{{B}^{2}}=81\Rightarrow HB=9 \\ & \Rightarrow HC=BC-HB=25-9=16. \\\end{align}\)

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

\(\begin{align}  & \frac{AB}{AH}=\frac{BD}{DH}\Leftrightarrow \frac{AB}{AH}=\frac{BH-DH}{DH} \\ & \Leftrightarrow \frac{15}{12}=\frac{9-DH}{DH}\Leftrightarrow 15DH=108-12DH\Leftrightarrow DH=4 \\\end{align}\)

Vì AE là phân giác của tam giác AHC nên:

\(\begin{align}  & \frac{AH}{AC}=\frac{HE}{EC}\Leftrightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{HC-EC}{EC} \\ & \Leftrightarrow \frac{12}{20}=\frac{16-EC}{EC}\Leftrightarrow 12EC=320-20EC \\ & \Leftrightarrow EC=10 \\ & \Rightarrow HE=16-10=6. \\\end{align}\)