Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là tâm của hình vuôn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Chứng minh khoảng cách từ A đến đường thẳng m bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng m.

+) Tương tự khoảng cách từ B đến đường thẳng m bằng khoảng cách từ D đến đường thẳng m.

+) Khi đó tổng khoảng cách từ 4 đỉnh của hình vuông đến m bẳng 2 lần tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng m.

Giải chi tiết:

Gọi \({{h}_{1}};{{h}_{2}}\) lần lượt là các khoảng cách từ hai đỉnh B; A đến m.

Kẻ \(BQ\bot m;\,\,AP\bot m;\,\,DS\bot m;\,\,CR\bot m.\)

Khi đó \(AP;\,\,BQ;\,\,CR;\,\,DS\) lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh

\(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) đến đường thẳng \(m.\)

Gọi S là tổng các khoảng cách cần tìm.\(\Rightarrow S=AP+BQ+CR+D\text{S}.\)

Dễ chứng minh \(AM=CN\) (đối xứng qua O)

Vì O là tâm của hình vuông \(ABCD\Rightarrow OM=ON.\)

Ta có: \(CR\bot m;AP\bot m\Rightarrow CR\parallel AP\) ( định lí từ vuông góc đến song song)

Ta có: \(\widehat{AMP}=\widehat{CNR}\) ( hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Xét tam giác vuông AMP và tam giác vuông CNR có:\(\left\{ \begin{align}  & AM=CN \\  & \widehat{AMP}=\widehat{CNR} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta AMP=\Delta CNR\)

Suy ra \(AP=CR={{h}_{2}}\) (hai cạnh tương ứng)

Tương tự ta có: \(BQ=DS={{h}_{1}}\)

Ta có: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\)(tính chất của hình vuông).

\(\begin{align}  & {{S}_{OAB}}={{S}_{OAM}}+{{S}_{OBM}}=\frac{1}{2}\left( AP.OM+BQ.OM \right) \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{2}OM.\left( AP+BQ \right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}MN\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)=\frac{1}{4}b\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right). \\  & \Rightarrow \frac{1}{4}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}b\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right) \\  & \Rightarrow {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{b} \\  & \Rightarrow S=2\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)=\frac{2{{a}^{2}}}{b}. \\ \end{align}\)

Chọn B