Cho hình chóp S.ABC có \(SA = SB = SC = a,\widehat...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì chóp S.ABC có \(SA = SB = SC\) nên \(SO \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác SAB; SAC vuông cân tại S nên \(AB = AC = a\sqrt 2  \Rightarrow \Delta ABC\)cân tại A.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác SBC có:

\(BC = \sqrt {S{B^2} + S{C^2} - 2.SB.SC\cos \widehat {BSC}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}  = a\sqrt 3 \)

Gọi D là trung điểm của BC\( \Rightarrow AD \bot BC\)(trung tuyến trong tam giác cân đồng thời là đường cao)

Ta có: \(BD = CD = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AD.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}a\sqrt 3  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\)

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow R = \dfrac{{abc}}{{4{S_{\Delta ABC}}}}\)\( = \dfrac{{a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .a\sqrt 3 }}{{4\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}}} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5} = OA\)

\(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại O\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{4{a^2}}}{5}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Chọn D.