Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Trong (ABCD) kẻ \(EH//AD \Rightarrow EH \bot AB\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot SH\left( {SH \bot (ABCD)} \right)\\AB \bot EH\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right)\)

Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HK \bot SE\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot AB\left( {AB \bot \left( {SHE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Vì \(EH//AD \Rightarrow \dfrac{{EH}}{{BC}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow EH = \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác vuông ABC có: 

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + {a^2}}  = 2a \Rightarrow AH = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{a}{2};\,\,\,HC = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{{3a}}{2}\)

Xét tam giác vuông SAC có: \(S{H^2} = AH.HC = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\)vuông tại H\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{H{S^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{3{a^2}}} = \dfrac{{20}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HK = a\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} \)

Chọn D